複数の系をまとめて扱うとき、なぜテンソル積が出てくるのでしょうか。ここではその点を、いきなり公理として受け入れるのではなく、古典的な相関の式を丁寧に書き直すところから見ていきます。やりたいことは単純で、合成系での期待値を行列で表し、それを前回と同じように線型写像と捉えることです。

波動関数のない量子力学入門では、一つの系の古典期待値

\[\mathbb{E}[a] = \sum_i a_i p_i\]

をトレースで書き直し、

\[\mathbb{E}[a] = \operatorname{Tr}(A\rho)\]

という形に直しました。その結果、物理量 \(A\) と状態 \(\rho\) に

\[A^\dagger = A,\qquad \rho \ge 0,\qquad \operatorname{Tr}\rho = 1\]

という条件が自然に現れることを見ました。今回はその続きとして、合成系では状態がテンソル積空間 \(\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B\) 上の作用素として現れることを確認します。

この記事の流れは次の通りです。

古典的な相関 \(\mathbb{E}[ab]\) から出発します。

測定値の候補を全部並べると、\([A]\otimes[B]\) が自然に現れることを見ます。

同時確率を並べた行列と組み合わせると、相関がトレースで書けることを確認します。

その行列を、正規直交基底に関する線型写像の表現として読み直します。

最後に、合成系の式が \(\operatorname{Tr}((A\otimes B)\rho)\) という基底に依らない形になることを見ます。

古典的な相関から出発する

まず二つの古典系を考えます。ここで大事なのは、\(A\) と \(B\) は同じ系の中の二つの量ではなく、第一の系と第二の系という別々の系に属する物理量だということです。第一の系の測定値が \(a_1,\dots,a_n\)、第二の系の測定値が \(b_1,\dots,b_m\) を取るとします。\(a_i\) と \(b_j\) が同時に起こる確率を \(p(a_i,b_j)\) と書けば、積の期待値は

\[\mathbb{E}[ab] = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j p(a_i,b_j)\]

です。

相関係数

\[\mathrm{Corr}(a,b) = \frac{\mathbb{E}[ab]-\mathbb{E}[a]\mathbb{E}[b]}{\sigma(a)\sigma(b)}\]

も、結局はこの \(\mathbb{E}[ab]\) を土台にして作られます。したがって合成系の構造を理解したいなら、まずはこの式をどう行列で表すかを考えるのが自然です。

一つの系では対角行列で書けた

一つの系だけなら、測定値を対角行列に並べればよかったわけです。二つの系についても同じように

\[[A] = \begin{pmatrix}a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n\end{pmatrix},\qquad [B] = \begin{pmatrix}b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_m\end{pmatrix}\]

と書けます。

一つの系では、物理量の対角行列と確率を並べた対角行列の積のトレースが期待値を与えていました。では二つの系を同時に見るとき、物理量の側にはどんな行列が来るのでしょうか。ここでテンソル積が出てきます。

合成系では候補値の全組合せを並べる

第一の系だけを見るなら、測定値の候補は

\[\{a_1,\dots,a_n\}\]

であり、第二の系だけなら

\[\{b_1,\dots,b_m\}\]

です。

しかし二つを同時に見ると、結果は \((a_i,b_j)\) という組で指定されます。したがって、積の期待値 \(\mathbb{E}[ab]\) を計算するには、各組に対応する値 \(a_i b_j\) を全部並べなければいけません。

つまり合成系では、候補値は

\[\{a_1 b_1,\ a_1 b_2,\ \dots,\ a_i b_j,\ \dots,\ a_n b_m\}\]

のように、すべての組合せを含みます。個数は \(nm\) 個なので、合成系の物理量を表す行列は \(nm\times nm\) 行列であるべきだと分かります。

そこで \([A]\otimes[B]\) を作ると、これはちょうど \(nm\times nm\) 行列になり、その対角成分には \(a_i b_j\) がすべて並びます。

たとえば \(n=m=2\) のとき、

\[[A] = \begin{pmatrix}a_1 & 0 \\ 0 & a_2\end{pmatrix},\qquad [B] = \begin{pmatrix}b_1 & 0 \\ 0 & b_2\end{pmatrix}\]

であり、

\[[A]\otimes[B] = \begin{pmatrix}a_1[B] & 0[B] \\ 0[B] & a_2[B]\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1 b_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_1 b_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 b_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_2 b_2\end{pmatrix}\]

となります。積の候補値が確かにすべて現れています。

ここで大事なのは、テンソル積は便利そうだから後から導入するものではない、という点です。合成系で積の期待値を計算しようとすると、候補値の全組合せを同時に並べる必要があります。その要請を行列で書いたものが \([A]\otimes[B]\) なのです。

言い換えると、「合成系だからテンソル積を使う」のではなく、「候補値を全部並べるとテンソル積になる」と見るべきです。ここで、なぜ合成系にテンソル積が現れるのかがかなり具体的になります。

状態の側にも同じ数だけ確率を並べる

物理量の側が \(nm\times nm\) 行列になったなら、状態の側もそれと掛け合わせられる同じサイズの行列でなければいけません。そこで、同時確率 \(p(a_i,b_j)\) を対角成分に並べた行列

\[[\rho] = \begin{pmatrix}p(a_1,b_1) & & \cdots & & 0 \\ & \ddots & & & \\ \vdots & & p(a_i,b_j) & & \vdots \\ & & & \ddots & \\ 0 & & \cdots & & p(a_n,b_m)\end{pmatrix}\]

を考えます。

対角成分の並び順は、たとえば

\[(i,j) = (1,1),(1,2),\dots,(1,m),(2,1),\dots,(n,m)\]

のように一つ固定しておけば十分です。大事なのは、\([A]\otimes[B]\) と \([\rho]\) の対角成分を同じ順序で並べることです。

この順序に従うと、

\[[A]\otimes[B]= \begin{pmatrix}a_1 b_1 & & \cdots & & 0 \\ & \ddots & & & \\ \vdots & & a_i b_j & & \vdots \\ & & & \ddots & \\ 0 & & \cdots & & a_n b_m\end{pmatrix}\]

となります。したがって、

\[([A]\otimes[B])[\rho]= \begin{pmatrix}a_1 b_1 p(a_1,b_1) & & \cdots & & 0 \\ & \ddots & & & \\ \vdots & & a_i b_j p(a_i,b_j) & & \vdots \\ & & & \ddots & \\ 0 & & \cdots & & a_n b_m p(a_n,b_m)\end{pmatrix}\]

となり、対角成分には \(a_i b_jp(a_i,b_j)\) だけが残ります。トレースは対角成分の和なので、

\[\operatorname{Tr}\bigl(([A]\otimes[B])[\rho]\bigr) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j p(a_i,b_j)\]

が成り立ちます。したがって

\[\mathbb{E}[ab] = \operatorname{Tr}\bigl(([A]\otimes[B])[\rho]\bigr)\]

と書けます。

つまり古典的な相関は、合成系では測定値の全組合せを並べた行列 \([A]\otimes[B]\) と、同時確率を並べた行列 \([\rho]\) のトレースとして表されます。ここで得られたのは、合成系の期待値を行列で書くための自然な形です。

ここまでの古典的記述を整理する

ここで一度、何をしたのかを整理します。

一つの系では、測定値 \(a_i\) と確率 \(p_i\) を対角行列に並べることで

\[\mathbb{E}[a] = \sum_i a_i p_i = \operatorname{Tr}([A][\rho])\]

と書けました。

二つの系では、その拡張として、物理量の側は \([A]\otimes[B]\) に、状態の側は同時確率を並べた \([\rho]\) になります。したがって

\[\mathbb{E}[ab] = \sum_{i,j} a_i b_j p(a_i,b_j) = \operatorname{Tr}\bigl(([A]\otimes[B])[\rho]\bigr)\]

と書けます。

ここまではまだ完全に古典確率の話です。ただし重要なのは、この段階ですでにテンソル積が現れているということです。テンソル積は量子論に入って突然出てくるのではなく、合成系の期待値を素直に書こうとした時点で現れています。

行列を線型写像だと解釈してみる

ここから前の記事と同じ発想を使います。行列を単なる数字の表ではなく、正規直交基底を一つ選んだときの線型写像の基底表示だと考えます。

第一の系と第二の系は別々の系なので、それぞれに別の内積空間 \(\mathcal H_A\)、\(\mathcal H_B\) を対応させます。そして、正規直交基底を選んだときに、線型写像 \(A:\mathcal H_A\to\mathcal H_A\) と \(B:\mathcal H_B\to\mathcal H_B\) の行列表現が、それぞれ \([A]\)、\([B]\) になると考えます。

\(\mathcal H_A\) の基底を \(e_1,\dots,e_n\)、\(\mathcal H_B\) の基底を \(f_1,\dots,f_m\) とします。このとき線形代数の標準的な事実として、テンソル積行列 \([A]\otimes[B]\) は、テンソル積空間 \(\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B\) 上の線型写像 \(A\otimes B\) の、積基底 \(e_i\otimes f_j\) に関する表現行列と解釈できます。

言い換えると、\([A]\otimes [B]\) は、「各部分系の線型写像 \(A\)、\(B\) を合成系で同時に見た写像 \(A\otimes B\) を、積基底 \(e_i\otimes f_j\) で表したもの」なのです。

状態の側も同様です。古典的には同時確率を並べた対角行列 \([\rho]\) を書いていましたが、これも積基底に関する基底表示だと考えれば、本体は線型写像

\[\rho:\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B \to \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B\]

です。
波動関数のない量子力学入門と同じ議論により、\([\rho]\geq0\) という条件から、基底によらない

\[\rho \ge 0,\qquad \operatorname{Tr}\rho = 1\]

という条件に一般化します。
したがって、ここまでで得た古典的な式は、基底に依らない形では

\[\mathbb{E}[ab] = \operatorname{Tr}\bigl((A\otimes B)\rho\bigr)\]

と書けます。

ここで注意すべきなのは、\(\rho \ge 0\) という条件は論理的帰結ではないという点です。
一見すると

\[[\rho]\geq 0 \Leftrightarrow \rho \ge 0\]

が成り立つように見えますが、この推論は\([\rho]\) が積基底において対角化できる行列であるという条件がついていることを見落としてしまっています。
一般には積基底で対角化できるとは限らないため、\(\rho \ge 0\) を採用することで状態の範囲は真に広くなっています。
しかし、古典論においては状態の非対角成分は消えるので、変化があるのは量子論だけです。
この拡張によって、量子論ではエンタングルメントという古典にはない性質が現れます。

テンソル積で見える古典系と量子系の違い

合成系の物理量 \(A\otimes B\) は、第一の系の物理量 \(A\) と第二の系の物理量 \(B\) が別々の場所に作用するものをひとまとめに表現したものです。
この定義から、別々の系の物理量は

\[(A\otimes I)(I\otimes B) = A\otimes B = (I\otimes B)(A\otimes I)\]

と常に可換になります。つまり

\[[(A\otimes I),(I\otimes B)] = 0\]

が成り立ちます。
したがって、合成系をテンソル積で作る限り、別々の部分系に属する物理量どうしは最初から可換であり、その点では古典系と量子系の差は出ません。
非可換性が生じるのはそれぞれの系の中でのみです。

まとめ

この記事でやったことを一言で言えば、古典的な相関の式を丁寧に行列へ書き直し、それを線型写像として読み直したことです。

古典的な相関の基本式は

\[\mathbb{E}[ab] = \sum_{i,j} a_i b_j p(a_i,b_j)\]

です。合成系では候補値の集合 \(a_i b_j\) を並べる必要があるので、物理量は自然に \([A]\otimes[B]\) で表されます。さらに、同時確率を並べた行列を組み合わせると、

\[\mathbb{E}[ab] = \operatorname{Tr}\bigl(([A]\otimes[B])[\rho]\bigr)\]

と書けます。

そして \([A]\) や \([B]\) を単なる行列ではなく線型写像の表現だと読めば、\([A]\otimes[B]\) はテンソル積空間 \(\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B\) 上の作用素 \(A\otimes B\) の表現行列になります。したがって、合成系の期待値は最終的に

\[\mathbb{E}[ab] = \operatorname{Tr}\bigl((A\otimes B)\rho\bigr)\]

という基底に依らない形で書けます。

言い換えると、テンソル積は合成系だから形式的に導入するものではありません。合成系で起こりうる測定値の組合せを全部並べ、その確率と掛け合わせて期待値を作ろうとすると、自然にテンソル積が現れます。そして、別々の系の物理量はこの時点で可換のままですが、状態の側では古典系と量子系で決定的な差が生じます。