量子論においても、古典力学と同様に、時間発展を生成するのはハミルトニアンだと言われます。さらにそのハミルトニアンはエネルギーの演算子でもあると言われますが、果たして本当でしょうか？古典力学と量子論では理論形式が全く異なるため、ハミルトニアンの役割が一致するのは極めて非自明であるはずです。

また、点粒子の量子力学では正準交換関係という謎の代数構造が唐突に現れますがこれは一体どこからやってきたのでしょうか？

本記事ではこの辺りをすっきり理解できるように解説していきます。

時間発展演算子

孤立系の時間発展は1パラメータユニタリー群になっています。ストーンの定理によって、その生成子は自己共役作用素で与えられます。そこで、その生成子を \(\hat\Omega\) と書けば、

時間発展の指数表示

\[\hat U_{t} = e^{-it\hat\Omega}\]

という見慣れた形が得られます。ここで大事なのは、時間発展が自己共役作用素によって生成されるという構造です。指数の中身 \(t\hat\Omega\) が無次元であることから、\(\hat\Omega\) は周波数の次元を持ちます。後で古典極限を見ると、この生成子がハミルトニアン演算子とどう結びつくかが分かります。

状態 \(\hat\rho\) の時間発展をシュレーディンガー描像で書くと、

\[\begin{aligned} \hat\rho(t) &= \hat U_{t} \hat\rho(0) \hat U_{t}^{\dagger} \\[0.35em] &= e^{-it\hat\Omega}\hat\rho(0)e^{it\hat\Omega} \end{aligned}\]

となります。時間発展が共役作用の形で書けるので、期待値 \(\operatorname{Tr}(\hat\rho \hat A)\) という構造はきちんと保たれます。

ハイゼンベルグ方程式

期待値は描像によらず同じであってほしいので、

\[\operatorname{Tr}(\hat\rho(t) \hat A) = \operatorname{Tr}(\hat\rho(0) \hat A(t))\]

と書き直し、時間発展を観測量の側へ移したものを

\[\begin{aligned} \hat A(t) &= \hat U_{t}^{\dagger} \hat A \hat U_{t} \\[0.35em] &= e^{it\hat\Omega} \hat A e^{-it\hat\Omega} \end{aligned}\]

と定義します。これをそのまま時間で微分すると、

\[\begin{aligned} \frac{d\hat A(t)}{dt} &= i \hat\Omega e^{it\hat\Omega} \hat A e^{-it\hat\Omega} \\[0.35em] &\quad - e^{it\hat\Omega} \hat A e^{-it\hat\Omega} i\hat\Omega \end{aligned}\]

となりますね。\(\hat\Omega\) は自分自身とは可換なので、左右どちらへでも自由に移せます。したがって、

\[\begin{aligned} \frac{d\hat A(t)}{dt} &= i\hat\Omega \hat A(t) - i\hat A(t)\hat\Omega \\[0.35em] &= i[\hat\Omega, \hat A(t)] \end{aligned}\]

とすっきりまとまります。これをきれいに書き直すと、

ハイゼンベルグ方程式

\[\frac{d\hat A(t)}{dt} = i[\hat\Omega, \hat A(t)]\]

が得られます。これが時間発展の微分形です。観測量がどのように時間変化するかは、\(\hat\Omega\) との交換子だけで決まる、というのはなかなか印象的ではないでしょうか。

古典解からの誤差

ここからは、まず1質点系だけを考えましょう。観測量として位置 \(\hat x(t)\) と運動量 \(\hat p(t)\) があり、時間発展の生成子 \(\hat\Omega\) は \(\Omega(\hat x,\hat p)\) の形にとれるとします。ハイゼンベルグ描像では密度演算子 \(\rho\) は時間に依らず固定されているので、古典極限との比較も演算子そのものではなく期待値

\[\begin{aligned} x_{\rho}(t) &:= \operatorname{Tr}(\rho \hat x(t)), \\[0.35em] p_{\rho}(t) &:= \operatorname{Tr}(\rho \hat p(t)) \end{aligned}\]

の運動として見るのが自然です。そこで、演算子をこの期待値のまわりで

\[\begin{aligned} \delta\hat x &:= \hat x - x_{\rho}(t), \\[0.35em] \delta\hat p &:= \hat p - p_{\rho}(t) \end{aligned}\]

と分けます。こうしておくと \(\operatorname{Tr}(\rho \delta\hat x)=0\)、\(\operatorname{Tr}(\rho \delta\hat p)=0\) が定義から厳密に成り立ちます。ここで \(\varepsilon\) は古典スケールに対する相対的な揺らぎの大きさを表すパラメータで、代表的な位置スケール \(X_{*}\) と運動量スケール \(P_{*}\) を使って

\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}(\rho \delta\hat x^2 )&= O(\varepsilon^2) X_{*}^2, \\[0.35em] \operatorname{Tr}(\rho \delta\hat p^2 )&= O(\varepsilon^2) P_{*}^2 \end{aligned}\]

となるとします。
つまり \(\varepsilon\) は、位置や運動量そのものの大きさではなく、期待値のまわりのゆらぎを古典スケールで測った相対量です。以下では生成子の関数形 \(\Omega(x,p)\) を使い、\(\hat\Omega = \Omega(\hat x,\hat p)\) を \((x_{\rho}(t),p_{\rho}(t))\) のまわりで展開していきます。

\(\hat\Omega\) の期待値まわりのテーラー展開は

\[\hat\Omega = \Omega_{\rho} + \Omega_{x} \delta\hat x + \Omega_{p} \delta\hat p + O(\varepsilon^{2})\]

となります。ここで

\[\begin{aligned} \Omega_{\rho} &:= \Omega(x_{\rho},p_{\rho}), \\[0.35em] \Omega_{x} &:= \frac{\partial \Omega}{\partial x}(x_{\rho},p_{\rho}), \\[0.35em] \Omega_{p} &:= \frac{\partial \Omega}{\partial p}(x_{\rho},p_{\rho}) \end{aligned}\]

は、いずれも期待値の点で評価したただの数です。

期待値の運動を評価する

位置と運動量にハイゼンベルグ方程式を当てはめると、

\[\begin{aligned} \frac{d\hat x}{dt} &= i[\hat\Omega, \hat x], \\[0.35em] \frac{d\hat p}{dt} &= i[\hat\Omega, \hat p] \end{aligned}\]

です。ここで重要なのは、これをそのまま演算子方程式として比較するのではなく、固定した \(\rho\) で期待値を取って評価することです。左辺は

\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}\left(\rho \frac{d\hat x}{dt}\right) &= \frac{d}{dt}\operatorname{Tr}(\rho \hat x) \\[0.35em] &= \frac{dx_{\rho}}{dt}, \\[0.7em] \operatorname{Tr}\left(\rho \frac{d\hat p}{dt}\right) &= \frac{d}{dt}\operatorname{Tr}(\rho \hat p) \\[0.35em] &= \frac{dp_{\rho}}{dt} \end{aligned}\]

と厳密に期待値の時間微分そのものになります。したがって右辺も同じ \(\rho\) で評価して、

\[\begin{aligned} \frac{dx_{\rho}}{dt} &= i\operatorname{Tr}(\rho[\hat\Omega,\hat x]), \\[0.35em] \frac{dp_{\rho}}{dt} &= i\operatorname{Tr}(\rho[\hat\Omega,\hat p]) \end{aligned}\]

を調べましょう。まず \(\hat x = x_{\rho} + \delta\hat x\)、\(\hat p = p_{\rho} + \delta\hat p\) で \(x_{\rho},p_{\rho}\) はただの数なので、

\[\begin{aligned} {}[\hat\Omega,\hat x] &= [\hat\Omega,\delta\hat x], \\[0.35em] {}[\hat\Omega,\hat p] &= [\hat\Omega,\delta\hat p] \end{aligned}\]

が成り立ちます。先ほどの\(\hat\Omega\) のテーラー展開で1次の項までを明示的に計算すると

\[\begin{aligned} \frac{dx_{\rho}}{dt} &= i\operatorname{Tr}(\rho[\delta\hat p,\delta\hat x])\Omega_{p} \\[0.35em] &\quad + \text{(2次以上の寄与)}, \\[0.7em] \frac{dp_{\rho}}{dt} &= i\operatorname{Tr}(\rho[\delta\hat x,\delta\hat p])\Omega_{x} \\[0.35em] &\quad + \text{(2次以上の寄与)} \end{aligned}\]

となります。主要項だけ取り出すと以下の方程式が得られます。

\[\begin{aligned} \frac{dx_{\rho}}{dt} &= -i\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\frac{\partial\Omega}{\partial p}(x_{\rho},p_{\rho}), \\[0.7em] \frac{dp_{\rho}}{dt} &= i\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\frac{\partial\Omega}{\partial x}(x_{\rho},p_{\rho}) \end{aligned}\]

\(x_{\rho}\) と \(p_{\rho}\) がただの数であるため、\([\delta\hat x,\delta\hat p]=[\hat x,\hat p]\) が成り立つことを適用しました。

正準交換関係を定める

上の式の主要項が古典の正準方程式と整合するための条件を考えます。
古典では

\[\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p}, \\[0.35em] \frac{dp}{dt} &= -\frac{\partial H}{\partial x} \end{aligned}\]

という正準方程式が成立します。

古典極限を主要項が一致することだと思えば、

\[\begin{aligned} -i\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\frac{\partial\Omega}{\partial p}(x_{\rho},p_{\rho}) &= \frac{\partial H}{\partial p}(x_{\rho},p_{\rho}), \\[0.7em] i\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\frac{\partial\Omega}{\partial x}(x_{\rho},p_{\rho}) &= -\frac{\partial H}{\partial x}(x_{\rho},p_{\rho}) \end{aligned}\]

となります。

この式は座標の取り方に依存しないはずで、特に位置と運動量の原点を任意に動かしても成立すべきです。
この座標変換はハイゼンベルグ描像では

\[\begin{aligned} \hat x &\to \hat x - x_0, \\[0.35em] \hat p &\to \hat p - p_0, \\[0.35em] \rho &\to \rho \end{aligned}\]

と書くことができます。
この変換において、期待値 \(x_{\rho},p_{\rho}\) は相空間全体を網羅できます。これに対し、交換関係は

\[\begin{aligned} {}[\hat x,\hat p] &\to{}[\hat x-x_0,\hat p-p_0] \\[0.35em] &={}[\hat x,\hat p] \end{aligned}\]

と不変です。
従って、\(x_{\rho},p_{\rho}\) から \(\rho\) を外して任意の座標とした以下の式が成り立ちます。

\[\begin{aligned} -i\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\frac{\partial\Omega}{\partial p}(x,p) &= \frac{\partial H}{\partial p}(x,p), \\[0.7em] i\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\frac{\partial\Omega}{\partial x}(x,p) &= -\frac{\partial H}{\partial x}(x,p) \end{aligned}\]

両辺の比較により、\(\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])\) は \(\rho\) に依存せず、定数であるべきです。その定数を

\[\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])=i\hbar\]

と書くことにします。これを上式に代入すると、

\[\begin{aligned} \hbar\frac{\partial\Omega}{\partial p}&=\frac{\partial H}{\partial p}, \\[0.35em] \hbar\frac{\partial\Omega}{\partial x}&=\frac{\partial H}{\partial x} \end{aligned}\]

また、\(G(x,p):=H(x,p)-\hbar\Omega(x,p)\) を定義すると、

\[\begin{aligned} dG &= \left(\frac{\partial H}{\partial x}-\hbar\frac{\partial\Omega}{\partial x}\right)dx \\[0.35em] &\quad + \left(\frac{\partial H}{\partial p}-\hbar\frac{\partial\Omega}{\partial p}\right)dp \\[0.35em] &= 0 \end{aligned}\]

となるため、

\[\begin{aligned} G(x,p)&=H(x,p)-\hbar\Omega(x,p) \\[0.35em] &=\text{定数} \end{aligned}\]

となります。従って、この定数を \(H\) に吸収すれば

\[\hbar\Omega(x,p)=H(x,p)\]

となります。また、\(\operatorname{Tr}(\rho[\hat x,\hat p])=i\hbar\) が \(\rho\) によらないことから、次の関係が演算子レベルで成立します。

\[{}[\hat x,\hat p]=i\hbar\]

以上から、\(\hbar\Omega\) が古典力学のハミルトニアンに対応することと、正準交換関係 \([\hat x,\hat p]=i\hbar\) が導出されました。
この導出からわかるように、\(\hbar\) は量子論由来の定数ではなく、位置と運動量という極めて古典力学的な物理量を量子論に持ち込み、時間発展の生成子をハミルトニアンに同定するための次元合わせの定数です。

一般の系へ拡張する

1質点系で期待値の運動が古典の正準方程式に落ちることを要求すると、\(\hbar\hat\Omega\) はハミルトニアン演算子 \(\hat H\) に同定され、\([\hat x,\hat p]=i\hbar\) という正準交換関係も定まります。そこで、この見方を一般の量子系へと広げてみましょう。すなわち、位置や運動量のような古典変数が最初からはっきり見えない系であっても、孤立系の時間発展を生成する自己共役作用素 \(\hat H\) をハミルトニアン演算子と呼ぶことにします。

以上によって、古典力学と同様に量子論においてもハミルトニアンは「エネルギーに対応する量」であると同時に「時間発展を生む生成子」でもあると言うことができます。

おまけ：高次項の評価

ここからは2次以上の寄与を評価しましょう。そのために、対称化積 \(\operatorname{Sym}\) を使って高次の中心モーメントが

\[\begin{aligned} &\operatorname{Tr}(\rho \operatorname{Sym}[(\delta\hat x)^{m}(\delta\hat p)^{n}]) \\[0.35em] &= O(\varepsilon^{m+n})X_{*}^{m}P_{*}^{n} \end{aligned}\]

を満たすと仮定します。特に、\((\delta\hat x)^{2}\)、\(\operatorname{Sym}[\delta\hat x\delta\hat p]\)、\((\delta\hat p)^{2}\) の期待値は \(O(\varepsilon^{2})\) であり、3次以上の項も同様に次数つきで抑えられているとみなします。ここで \(\operatorname{Sym}[\delta\hat x\delta\hat p] := \frac{1}{2}(\delta\hat x\delta\hat p + \delta\hat p\delta\hat x)\) です。

2次部分を

\[\begin{aligned} \hat H^{(2)} :=&\; \frac{1}{2} H_{xx}(\delta\hat x)^{2} \\[0.35em] &+ H_{xp} \operatorname{Sym}[\delta\hat x\delta\hat p] \\[0.35em] &+ \frac{1}{2} H_{pp}(\delta\hat p)^{2} \end{aligned}\]

とし、すでに定めた \([\delta\hat x,\delta\hat p]=i\hbar\) を使うと、

\[\begin{aligned} \frac{i}{\hbar}[\hat H^{(2)},\delta\hat x] &= H_{xp} \delta\hat x + H_{pp} \delta\hat p, \\[0.7em] \frac{i}{\hbar}[\hat H^{(2)},\delta\hat p] &= -H_{xx} \delta\hat x - H_{xp} \delta\hat p \end{aligned}\]

となります。つまり2次項は交換子を取ると1次の項になりますが、\(\delta\hat x,\delta\hat p\) は中心化してあるので、

\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}\left(\rho \frac{i}{\hbar}[\hat H^{(2)},\delta\hat x]\right) &= H_{xp}\operatorname{Tr}(\rho \delta\hat x) \\[0.35em] &\quad + H_{pp}\operatorname{Tr}(\rho \delta\hat p) \\[0.35em] &= 0 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}\left(\rho \frac{i}{\hbar}[\hat H^{(2)},\delta\hat p]\right) &= -H_{xx}\operatorname{Tr}(\rho \delta\hat x) \\[0.35em] &\quad - H_{xp}\operatorname{Tr}(\rho \delta\hat p) \\[0.35em] &= 0 \end{aligned}\]

が厳密に成り立ちます。さらに、3次以上の項でも交換子は \(\delta\) の次数を1つ落とすだけなので、\(k\) 次の項は期待値を取ると \(k-1\) 次の中心モーメントで評価されます。したがって \(k=2\) の寄与は今見たように厳密に0になり、\(k\ge 3\) の寄与はすべて \(O(\varepsilon^{2})\) 以上にしかなりません。

結局、期待値の運動方程式は

\[\begin{aligned} \frac{dx_{\rho}}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p}(x_{\rho},p_{\rho}) + O(\varepsilon^{2}), \\[0.7em] \frac{dp_{\rho}}{dt} &= -\frac{\partial H}{\partial x}(x_{\rho},p_{\rho}) + O(\varepsilon^{2}) \end{aligned}\]

となり、ゆらぎの1次の項が消失します。
言い換えると、量子効果は2次以上の補正として効いてきます。