現代の量子論は確率論をベースに定式化されており、量子状態は測定データの統計的振る舞いを定める概念として定義されています。

そのため「なぜユニタリー時間発展を仮定するのか？」で解説しているように、量子状態の時間変化は統計的な構造に基づいて導入するのが自然で、その帰結としてCPTP写像による一般的な時間発展が導かれ、孤立系の場合にはユニタリー時間発展が現れます。

量子論における状態の時間発展はこれで尽きているのですが、量子状態が確率モデルであるが故に測定データを用いた条件付けによって事後分布に相当する量子状態を考えることもできます。

これは時間経過による物理的な状態変化とは異なり、純粋に確率論的なモデルの更新になっています。

本記事ではこの条件付けられた測定後状態を測定理論の枠組みで自然に定義付ける方法を解説していきます。

補足

量子論では、条件付き確率によるモデルの更新もまとめて時間発展と呼ぶ慣習があります。こうした異なる変化の混同が、「観測問題」という無用な混乱を招いています。

量子論は、測定データの統計的振る舞いを確率論の道具で解析するための理論です。そのため、測定値をサンプリングするメカニズム自体は理論の対象外です。ところが、状態の更新をサンプリングに伴う物理的な時間変化と混同すると、サンプリングのプロセスまで理論の範囲内にあると誤解してしまいます。

量子測定理論では、対象系から測定値を取り出す測定過程をモデル化します。ただし、そこで追跡しているのは対象系と測定器系の確率分布の時間変化です。測定理論を用いても、サンプリングのメカニズムそのものに立ち入ることはできません。

古典確率における測定後の状態

量子論の説明に入る前に、古典確率における測定と測定後の状態の扱いを説明します。

まず重要なのは、確率が何に対して定められる概念か？ということです。
古典論でも量子論でも、確率は「測定の試行」に対して定義されています。
「測定の試行」とは、対象系と測定装置を相互作用させた後に装置から測定値を読み出す、という一連の定められた行為を表しています。

対象系と測定器の相互作用による測定過程の模式図
測定のイメージ図

古典的な確率変数 \(X\) を、測定装置が示す値 \(Y\) で測定するには、

\[p(x) \to p(x,y)\]

と二つの変数の間に測定相互作用で相関を作り、その後で \(Y\) を測定します。

ここで注意が必要なのは、\(X\)の状態(=確率分布)が変化するのは測定相互作用の時であり、\(Y\)の読み出しの時には何も起きないということです。

これは、確率が測定の試行に対して定められていることから明らかです。
なぜなら\(Y\)の読み出しは\(X\)の試行に影響を与えないからです。
しかし直感的には\(Y\)を知ったら\(X\)の曖昧さは減少し、確率分布は変化していそうだと感じるでしょう。
それは「得られた\(Y=y\)で条件づけた上で\(X\)を再測定する」という試行に暗黙のうちに乗り換えているためです。
この条件付けられた試行で定義される確率を条件付き確率と言い、

\[p(x \mid y) := \frac{p(x,y)}{p(y)},\quad p(y) := \sum_x p(x,y)\]

と定義します。

この乗り換え手続きを採用すると、古典確率における測定後状態とは測定値 \(Y=y\) による条件付き確率 \(p(x \mid y)\) のことである、と表現できます。

当然、測定後状態を定義するための量子論に対する追加の要請は必要ありません。
測定後状態は、どの試行に対する確率を見ているのかを切り替えただけであり、その切り替えは上述のように条件付き確率として自然に導入されるものです。

補足

「測定すると状態が確定する」という表現も不適切です。
測定値と状態は分けて考えるべきで、測定によって確定するのは測定値そのものであり、状態は変わりません。
前述の通り、状態は相互作用で変化しますが、測定値を読んだ時には状態は何も変化しません。

量子論の測定過程

量子測定理論のセットアップでも、測定される対象系と測定器系を用意して測定相互作用によって相関を作らせます。

古典と大きく異なるのは、量子状態が単一の確率分布ではなく密度演算子であることと、相互作用がユニタリー演算子で計算できるという点です。

そのため、古典の測定相互作用で出てきた

\[p(x) \to p(x,y)\]

を量子論の形式で書き直す必要があります。

仮に対象系と測定器系の初期状態がそれぞれ \(\rho, \sigma\) であるとします。
このとき、測定相互作用がユニタリー演算子 \(U\) で記述できるとすると量子状態は

\[\rho \to U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger\]

と時間変化します。この時間発展は上述の古典確率分布の変化に対応しています。

そして相互作用後に測定器系の確率変数 \(Y\) を測定し、任意に一つ選んだ対象系の確率変数 \(X\) との間の同時確率分布を考えると、

\[p(x,y):=\mathrm{Tr} [(E_x\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]\]

の形で計算できます。ここで、\(\{E_x\},\{F_y\}\) はそれぞれ確率変数 \(X,Y\) の測定を記述するPOVMとしています。（参考：「ボルンの確率規則はどこから来るのか？」）

上式で確率分布 \(p(x,y)\) が得られたという事実は、古典と同じ論法で条件付き確率によって測定後状態を導入できることを強く示唆していると言えます。

後で見るように、古典と全く同じ方法で量子論の測定後状態が定義できます。 そこで重要になってくるのは、確率変数 \(X\) を任意にとったという点です。

条件付き量子状態

それでは最後に条件付き確率によって量子論における測定後状態を定めていきます。 測定値が \(Y=y\) であった場合の確率変数 \(X\) の条件付き確率は、

\[p(x \mid y) := \frac{p(x,y)}{p(y)}\]

によって定義されます。 ここで、 \(p(y)\) は確率変数 \(Y\) に関する周辺分布であり、同時確率分布 \(p(x,y)\) から \(X\) の情報を消去することで、

\[p(y):=\sum_{x}p(x,y)\]

と定義されます。

\(p(x,y)\) のPOVMを使った計算式を用いることで、条件付き確率は

\[\begin{aligned} p(x \mid y) &= \frac{p(x,y)}{p(y)} \\[0.45em] &= \frac{p(x,y)}{\sum_{x}p(x,y)} \\[0.45em] &= \frac{\mathrm{Tr} [(E_x\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]} {\sum_x \mathrm{Tr} [(E_x\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]} \\[0.45em] &= \frac{\mathrm{Tr} [(E_x\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]} {\mathrm{Tr} [(I\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]} \end{aligned}\]

と計算できます。

ここで、部分トレースを用いて

\[\rho_y':=\mathrm{Tr}_{\mathrm{測定器}} [(I\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]\]

と置くと、

\[\begin{aligned} p(x \mid y) &= \frac{p(x,y)}{p(y)} \\[0.45em] &= \frac{\mathrm{Tr}_{\mathrm{対象}} (E_x \rho_y')} {\mathrm{Tr}_{\mathrm{対象}} \rho_y'} \\[0.45em] &= \mathrm{Tr}_{\mathrm{対象}} \left(E_x \frac{\rho_y'} {\mathrm{Tr}_{\mathrm{対象}} \rho_y'}\right) \end{aligned}\]

という形に変形できます。

確率変数 \(X\) が任意であることから、POVMによる確率の計算公式を思い出せば、上式の

\[\begin{aligned} \rho_y &:=\frac{\rho_y'}{\mathrm{Tr}_{\mathrm{対象}} \rho_y'} \\[0.45em] &= \frac{\mathrm{Tr}_{\mathrm{測定器}} [(I\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]} {\mathrm{Tr} [(I\otimes F_y) U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]} \end{aligned}\]

の部分が密度演算子になっていることが分かります。 これこそが本記事における目標であった測定後状態です。

定義：測定後状態

対象系と測定器系の初期状態をそれぞれ \(\rho,\sigma\)、測定相互作用を \(U\)、測定器に対するPOVMを \(\{F_y\}\) とします。測定値 \(Y=y\) を得る確率

\[p(y)=\mathrm{Tr}[(I\otimes F_y)U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]\]

が \(p(y)>0\) であるとき、\(Y=y\) で条件付けられた対象系の測定後状態を

\[\rho_y:=\frac{\mathrm{Tr}_{\mathrm{測定器}}[(I\otimes F_y)U(\rho\otimes\sigma)U^\dagger]}{p(y)}\]

と定義します。

これは \(Y=y\) による条件付き確率から一意に定まる量子状態であり、本来なら条件付き量子状態とでも呼ぶべきものですが、標準的には測定後状態と呼ばれています。

以上で測定後状態が正確に定義できました。

伝統的な教科書だと測定後状態はベクトルの射影であるとする「射影仮説」が採用されていることがありますが、それは測定後状態の理想極限による作業仮説のようなもので、理論的には不要なものです。

次の記事「射影仮説と波束の収縮」では、特定の理想的条件の下で射影仮説が導出されることを解説しています。